Неравенство Коши

a1 + a2 + ... + an

n

≥ n√ a1a2...an , где ai ∈ R, ai ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Подтверждение


Для начала отметим, что если хотя бы одно из чисел ai = 0, правая часть будет приравниваться нулю, а Неравенство Коши левая - неотрицательной. Поэтому дальше будем рассматривать только ai > 0.

Выведем вспомогательное неравенство. Обозначим за Gm = m√ a1a2...am. Отметим, что

am+1 = Gm+1m+1/Gmm = Gm(Gm+1/Gm)m+1 = Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m Неравенство Коши+1.

Согласно неравенства Бернулли

Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1 ≥ Gm(1 + (m+1)(Gm+1/Gm - 1)) = Gm + (m+1)Gm+1 - (m+1)Gm = (m+1)Gm+1 - mGm.

Либо am+1 ≥ (m+1)Gm+1 - mGm (*)

Сейчас воспользуемся способом математической индукции.

1. База индукции Неравенство Коши.

При n = 1 неравенство Коши имеет вид a1 = a1. База испытана.

2. Переход.

Пусть при некотором n = k неравенство Коши производится, другими словами

a1 + a2 + ... + ak

k

≥ k√ a1a2...ak = Gk.


Докажем, что выражение Неравенство Коши правильно и при n = k+1.

Исходя из перехода:

a1 + a2 + ... + ak ≥ kGk.

Добавляем к данному неравенству (*) при значении m = k и получим:

a1 + a2 + ... + ak + ak+1 ≥ kGk + (k+1)Gk+1 - kGk Неравенство Коши = (k+1)Gk+1.

Исходя из этого

a1 + a2 + ... + ak+1

k+1

≥ Gk+1 = k+1√ a1a2...ak+1.

Переход подтвержден, а означает и наше предположение правильно. Что и требовалось обосновать.


Отметим, что равенство достигается только Неравенство Коши в этом случае, когда a1 = a2 = ... = an.


neskolko-stranic-istorii-9-glava.html
neskolko-tipov-celej-plamya-vojni-igra-po-vtoroj-mirovoj-vojne-s-ispolzovaniem-miniatyur.html
neskolko-vstupitelnih-slov.html