Непрерывность элементарных функций

Лекция 3. Непрерывность функции

Содержание лекции: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их систематизация. Непрерывность простых функций.

Характеристики функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Асимптоты графика функции.

1. непрерывность функции в точке.

С понятием предела связано другое принципиальное понятие математического анализа – понятие непрерывности функции.

Когда мы давали определение предела функции в точке Непрерывность элементарных функций х0, то отмечали, что х0 – предельная точка области определения функции – может и не принадлежать этой области. Не считая того, когда гласили, что х стремится к х0, не добивались, чтоб х = х0, хотя при вычислении предела сначала вычисляли значение функции в предельной точке. Особенный энтузиазм представляет конкретно случай, когда х0ÎD Непрерывность элементарных функций(f) , х воспринимает значение х0 и .

Определение 3.1. Пусть х0 – точка из области определения функции. Функция у = f(x) именуется непрерывной в точке х0 , если

.

Если это условие не производится, то функция имеет разрыв в точке х0

Согласно аксиоме 2.1(аспекту существования предела), существует и тогда только тогда, когда есть однобокие пределы Непрерывность элементарных функций f(x0+0) и f(x0–0) и эти пределы равны меж собой. Тогда аспект непрерывности функции в данной точке может быть сформулирован так.

Аксиома 3.1.(Аспект непрерывности)

Функция f(x) непрерывна в точке х0 и тогда только тогда, когда функция определена в этой точке, есть конечные однобокие пределы f(x0+0) и Непрерывность элементарных функций f(x0–0) и производится равенство

f(x0+0) = f(x0–0) = f(x0).

Отсюда следует метод исследования непрерывности функции в данной точке:

1) проверить существование f(x0);

2) проверить существование конечных однобоких пределов f(x0+0) и f(x0–0);

3) проверить равенство f(x0+0) = f(x0–0);

4) проверить равенство f(x0+0) = f(x0–0) = f(x0).

Если все условия Непрерывность элементарных функций выполнены, то функция в точке х0 непрерывна.

Если хотя бы одно условие нарушено, то функция в точке х0 терпит разрыв.

Определение 3.2.

Точка х0 именуется точкой разрыва первого рода (разрыва с конечным скачком), если есть конечные однобокие пределы f(x0+0) и f(x0–0) , но f(x0+0) ¹ f(x0–0).

Точка х0 именуется точкой разрыва Непрерывность элементарных функций второго рода, если хотя бы один из однобоких пределов не существует (к примеру, равен ¥).

Точка х0 именуется точкой устранимого разрыва, если есть конечные пределы f(x0+0) и f(x0–0) и

f(x0+0) = f(x0–0) ¹ f(x0).

Из сформулированного выше метода и определения 3.2 следует, что если не выполнено Непрерывность элементарных функций 1-ое условие метода (функция в точке х0 не определена), то можно только прийти к выводу, что в этой точке функция терпит разрыв. Нрав же разрыва определяется при проверке критерий 2 – 4 метода.

если не выполнено условие 2, то разрыв – второго рода (рис 8 а, б, в).


Если не выполнено условие 3, а условие 2 выполнено, то разрыв Непрерывность элементарных функций – первого рода, при всем этом условие 1 может быть выполнено (рис.9, а, в), а может быть и не выполнено (рис.9, б). В случае разрыва первого рода число

w = | f(x0+0) – f(x0–0)|

именуется скачком функции в точке х0.

Рис.9


Если выполнены условия 2 и 3, но нарушено условие 4 либо 1, то функция Непрерывность элементарных функций имеет устранимый разрыв (рис.10)

Дадим очередное определение непрерывности функции в точке. Для этого введем последующую терминологию. Если при собственном изменении переменная х от значения х0 перебежала к значению х1, то молвят, что х получила приращение

Dх = х1 – х0.

При всем этом функция у = f(x) также получит приращение

Dу = f(x1)– f Непрерывность элементарных функций(x0) = f(x0+Dх) – f(x0),

где х1 = х0+Dх, а f(x0+Dх) = f(x0) + Dу – новое, приращенное, значение функции.

Определение 3. 3.Функция у = f(x) именуется непрерывной в точке х0 , если х0Î D(f) и малому приращению функции соответствует маленькое приращение аргумента, т.е.

.

Можно обосновать Непрерывность элементарных функций, что определения 3.1 и 3.3 эквивалентны. Вправду, если, то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x0| < d Þ | f (x) – f (x0) | < e. Но потому что х – х0 = Dх, а f(x)– f(x0) = Dу, то получаем " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | < d Þ | Dу | < e. Это означает, что .

Напротив, если , то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | < d Þ | Dу | < e, откуда, беря во внимание Dх = х – х0 и Dу = f(x)– f(x0), получим " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x0| < d Þ | f Непрерывность элементарных функций (x) – f (x0) | < e. А это означает, что . ЧТД.

Определение 3.4.Функция, непрерывная в каждой точке отрезка [a; b], именуется непрерывной на этом отрезке.

Огромное количество точек, в каких данная функция непрерывна, именуют областью непрерывности этой функции.

Непрерывность простых функций

Сформулируем главные характеристики непрерывных в точке функций в виде теорем.

Аксиома 3.2.

Все главные простые Непрерывность элементарных функций функции непрерывны в собственной области определения.

Подтверждение: Разглядим, к примеру, линейную функцию у = ах +b. Область определения этой функции (–¥, +¥). Возьмем произвольную точку х = х0 из области определения, придадим переменной х приращение Dх и разглядим соответственное приращение Dу функции

Dу = (а(х0 + Dх) +b) – (ах + b)) = аDх Непрерывность элементарных функций.

Тогда , что, согласно определению 3.3, и значит непрерывность линейной функции в точке х0, т.е. в случайной точке области определения.

Аналогично, для функции у = sinx, xÎ R. получаем для хоть какого х:

,

что также значит непрерывность функции у = sinx в случайной точке х области определения.

Для других простых функций Непрерывность элементарных функций подтверждение аналогично.

Аксиома 3.3

Если функции f(x) и g(x) определены в области D и непрерывны в точке х0ÎD, то в этой точке также непрерывны функции f(x) .g(x), f(x) ± g(x), , если g(x0) ¹ 0.

Подтверждение: Эти утверждения следуют конкретно из определения непрерывной в точке функции и параметров Непрерывность элементарных функций пределов (аксиома 2.5).

К примеру, если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то и . Тогда, по аксиоме 2.5,

,

что и значит непрерывность личного в точке х0.

Непрерывность суммы, разности и личного обосновать без помощи других.

Аксиома 3.4.

Пусть функция j(х) определена на огромном количестве Непрерывность элементарных функций D, а функция f(у) определена на огромном количестве Е(j). Если j(х) непрерывна в точке х0ÎD, а f(у) непрерывна в точке у0 = j(х0), то непростая функция f(j(x)) непрерывна в точке х0. (без подтверждения)

Беря во внимание определение простой функции, из теорем 3.2, 3.3 и Непрерывность элементарных функций 3.4. получаем

Следствие.

Всякая простая функция непрерывна в каждой точке, в какой она определена.

Таким макаром, областью непрерывности всякой простой функции является ее область определения.

Из аксиомы 3.4 следует очередное принципиальное свойство – возможность перехода к лимиту под знаком функции:

К примеру,

.


nerechevie-sredstva-obsheniya.html
neregulyarnie-chetirehpolyusniki-ili-dlinnie-linii-referat.html
nereshennie-problemi-prinyato-utverzhdayu-reshenie.html